Đáp án:
B
Giải thích các bước giải:
\(\sin 2x + 4\left( {\cos x - \sin x} \right) = m \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 4\left( {\cos x - \sin x} \right) = m\)
Đặt \(\cos x - \sin x = t = \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( \Rightarrow 2\sin x\cos x = 1 - {t^2}\)
Với \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) thì \( - \frac{\pi }{4} < x + \frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow 1 < \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 2\) hay \(1 < t \le \sqrt 2 \).
Khi đó phương trình trở thành \(1 - {t^2} + 4t = m \Leftrightarrow - {t^2} + 4t + 1 = m\,\,\left( * \right)\) .
Xét hàm \(f\left( t \right) = - {t^2} + 4t + 1\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a = 1 < 0\) và hoành độ đỉnh \(t = 2\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) nên nó cũng đồng biến trên \(\left( {1;\sqrt 2 } \right]\).
Khi đó \(f\left( 1 \right) < f\left( t \right) \le f\left( {\sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow 4 < f\left( t \right) \le 4\sqrt 2 - 1\).
Vậy để phương trình có nghiệm thỏa mãn bài toán thì phương trình (*) có nghiệm thuộc \(\left( {1;\sqrt 2 } \right]\) hay đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại ít nhất một điểm.
Vậy \(4 < m \le 4\sqrt 2 - 1\).
