Ta có: $∆ABH\sim ∆CAH\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{CH}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{AH^2}{CH^2} = \dfrac{BH.CH}{CH^2} = \dfrac{BH}{CH}$
Áp dụng hệ thức lượng, ta được:
$AD.AB = AH^2$
$AE.AC = AH^2$
$\Rightarrow AD.AB = AE.AC$
Ta có:
$\dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{BH}{CH}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^4}{AC^4} = \dfrac{BH^2}{CH^2} = \dfrac{BD.AB}{CE.AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AB^3}{AC^3} = \dfrac{BD}{CE}$
Ta cũng có:
$DA.DB = DH^2$
$EA.EC= EH^2$
$\Rightarrow DA.DB + EA.EC = DH^2 + EH^2= DE^2$
Sửa đề: $DH.EH.BC =DE^3$
Ta có:
$AB.AC = BC.AH$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$
Ta được:
$DH.EH.BC$
$= DH.EH.\dfrac{AB.AC}{AH}$
$= \dfrac{(AB.DH).(AC.EH)}{AH}$
$= \dfrac{BH.AH.CH.AH}{AH}$
$= \dfrac{AH^4}{AH}$
$= AH^3 = DE^3$ ($ADHE$ là hình chữ nhật)
Tương tự, bằng cách áp dụng hệ thức lượng, ta được:
$BD.BA.CE.CA$
$= BH^2.CH^2 = AH^4$
