Giải thích các bước giải:
Nếu $m=0\to (d):y=2$
$\to $Phương trình hoành độ giao điểm của $(P), (d)$ là $\dfrac12x^2=2\to x^2=4\to x=\pm2$
$\to A(2,2), B(-2,2)$
Mà $(d):y=2\to (d)\perp Oy$
$\to d(O,d)=2$
$\to S_{OAB}=\dfrac12\cdot d(O,d)\cdot AB$
$\to S_{OAB}=\dfrac12\cdot 2\cdot \sqrt{(2+2)^2+(2-2)^2}=4$
Nếu $m\ne 0$
$\to (d): y=mx+2$ giao $Ox$ tại $C(-\dfrac2m,0)$ và $Oy$ tại $D(0,2)$
Kẻ $OH\perp (d)\to OH\perp CD$
Mà $C\in Ox, D\in Oy$
$\to \Delta OCD$ vuông tại $O$
$\to \dfrac1{OC^2}+\dfrac1{OD^2}=\dfrac1{OH^2}$
$\to \dfrac1{(-\dfrac2m)^2+0^2}+\dfrac1{0^2+2^2}=\dfrac1{OH^2}$
$\to \dfrac1{OH^2}=\dfrac{m^2+1}{4}$
$\to OH^2=\dfrac{4}{m^2+1}$
$\to OH=\dfrac{2}{\sqrt{m^2+1}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d),(P)$ là:
$\dfrac12x^2=mx+2$
$\to x^2=2mx+4$
$\to x^2-2mx-4=0(*)$
Vì $ac=-4<0\to (*)$ luôn có $2$ nghiệm $x_a,x_b$ thỏa mãn:
$\begin{cases}x_a+x_b=2m\\x_ax_b=-4\end{cases}$
Gọi $A(x_a,mx_a+2), B(x_b,mx_b+2)$
$\to AB^2=(x_a-x_b)^2+(mx_a+2-mx_b-2)^2$
$\to AB^2=(x_a-x_b)^2+m^2(x_a-x_b)^2$
$\to AB^2=(1+m^2)(x_a-x_b)^2$
$\to AB^2=(1+m^2)((x_a+x_b)^2-4x_ax_b)$
$\to AB^2=(1+m^2)((2m)^2-4\cdot (-4))$
$\to AB^2=(1+m^2)(4m^2+16)$
$\to AB=\sqrt{(1+m^2)(4m^2+16)}$
$\to S_{OAB}=\dfrac12OH\cdot AB$
$\to S_{OAB}=\dfrac12\cdot \dfrac{2}{\sqrt{m^2+1}}\cdot \sqrt{(1+m^2)(4m^2+16)}$
$\to S_{OAB}=2\sqrt{m^2+4}$
