+ Theo định lý Bezout, ta có: $f(x): x + 2$ dư $10$.
⇒$f(-2) = 10$.
+ $f(x): (x - 2)$ dư $22$⇒$f(2) = 22$.
+ Vì $f(x): (x^{2} - 4)$ được thương là $-5x$ và còn dư nên giả sử dư là $ã + b$ thì:
$f(x) = (x^{2} - 4).(-5x) + ax + b$
⇒$f(x) = -5x^{3} + 22x + ax + b$.
+ Ta có: $f(-2) = 10 ⇒5.(-2)^{3} + 20.(-2) + a.(-2) + b = 10$
⇒$-2a + b = 10 ⇒b = 10 + 2a$
$f(2) = 22 ⇒-5.2^{3} + 20.2 + a.2 + b = 22$
⇒$2a + b = 22 ⇒2a + 10 + 2a = 22 ⇒4a = 12 ⇒a = 3$
⇒$b = 10 + 2a = 10 + 6 = 16$
⇒$f(x) = -5x^{3} + 20x + 3x + 16 $
⇒$f(x) = -5x^{3} + 23x + 16$.
+ Vậy đa thức $f(x)$ cần tìm có dạng: $f(x) = -5x^{3} + 23x + 16$.
