Đáp án:
\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 17\]
Giải thích các bước giải:
Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu đã cho.
Do tâm của mặt cầu nằm trên mp Oxz nên \(I\left( {a;0;c} \right)\)
Mặt cầu đã cho đi qua các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nên \(IA = IB = IC\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AI} \left( {a - 1;\,\, - 2;\,\,c} \right) \Rightarrow A{I^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {c^2} + 4\\
\overrightarrow {BI} \left( {a + 1;\,\, - 1;\,\,c - 3} \right) \Rightarrow B{I^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} + 1\\
\overrightarrow {CI} \left( {a - 2;\,\,0;\,\,c + 1} \right) \Rightarrow CI = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}\\
IA = IB = IC\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IA = IC\\
IB = IC
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 1} \right)^2} + {c^2} + 4 = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}\\
{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} + 1 = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2a + 5 = - 4a + 2c + 5\\
2a - 6c + 11 = - 4a + 2c + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a - 2c = 0\\
6a - 8c = - 6
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow a = c = 3\\
\Rightarrow R = IA = IB = IC = \sqrt {17}
\end{array}\)
Vậy phương trình mặt cầu thỏa mãn là:
\[{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 17\]
