Đáp án: Không tồn tại $x$ thỏa mãn đề
Giải thích các bước giải:
Với $x\ge 2\to (x-2)(x+1)\ge 0$
$\to x^2-x-2\ge 0$
$\to x^2\ge x+2>0$
$\to x\ge \sqrt{x+2}$
$\to đpcm$
Dấu = xảy ra khi $x=2$
Ta có:
$A=x^2+\sqrt{x+2}+1>x^2,\quad\forall x\ge 2$
Mà $\sqrt{x+2}\le x (cmt)$
$\to A\le x^2+x+1<x^2+2x+1, (x>2)$
$\to A<(x+1)^2$
$\to x^2<A<(x+1)^2$(*)
Để $x^2+\sqrt{x+2}+1$ là số chính phương
$\to A$ là số chính phương
Mà giữa $2$ số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào nên kết hợp (*) ta suy ra $A$ không là số chính phương
$\to$Không tồn tại $x$ thỏa mãn đề
