a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có
AH cạnh chung
AB = AC (∆ABC cân tại A)
Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
b) ∆AHB = ∆AHC (câu a)
Nên góc BAH = góc CAH
Mà góc CAH = góc DHA (so le trong)
Nên góc BAH = góc DHA
Suy ra ∆DAH cân tại D
Suy ra DA = DH
c) Ta có BH = HC (∆ABH = ∆ACH)
Nên AH là trung tuyến ứng với cạnh BC
Ta có góc ABC = góc ACB (∆ABC cân tại A)
Mà góc ACB = góc DHB (đồng vị)
Nên góc ABC = góc DHB
Suy ra ∆DBH cân tại D
Suy ra DB = DH
Mà DH = DA (câu b)
Nên DA = DB
Suy ra CD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
Xét ∆ABC có
CD là trung tuyến từ đỉnh C
AH là trung tuyến từ đỉnh A
AH cắt CD tại G
Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC
Ta lại có BE là trung tuyến ứng với cạnh AC (EA = EC)
Nên BE đi qua G
Hay B, G, E thẳng hàng
d) Trên tia đối của tia EB lấy điểm K sao cho BE = EK
Xét tứ giác ABCK có hai đường chéo AC và BK cắt nhau tại E
Ta có AE = EC (gt)
BE = EK (cách vẽ)
Nên tứ giác ABCK là hình bình hành
Suy ra BC = AK
Trong ∆BAK luôn có
AB + AK > BK
Mà AK = BC
BK = 2BE
Nên AB + BC > 2BE
Do BE là trung tuyến và G là trọng tâm
Nên BG = 2BE/3
Hay 2BE = 3BG
Ta được AB + BC > 3BG (1)
Trong ∆AHC luôn có
AC > AH (cạnh huyền > cạnh góc vuông) (2)
Cộng hai vế của (1) và. (2) ta được
AB + BC + AC > AH + 3BG
Hay chu vi ∆ABC > AH + 3BG
