4)
Trên tia AM lấy điểm O sao cho ∠ANO= ∠CNM
Xét ΔACH vuông tại A có AH= AC
=> ΔACH vuông cân tại A
Xét ΔACH vuông có AN là đường trung tuyến
=> AN= CN= NH
=> ΔANH cân tại N => ∠NAH= ∠NHA (1)
Xét ΔACH cân tại A có AN là đường trung tuyến
=> AN là đường phân giác
=> ∠CAN= ∠NAH (2)
Từ (1) và (2)=> ∠CAN= ∠NHA
Xét ΔCHB có ∠NHA là góc ngoài tại H => ∠NHA= ∠NCM+ ∠CBH
=> ∠CAN= ∠NCM+ ∠CBH
=> ∠CAM+ ∠OAN= ∠NCM+ ∠CBH
=> ∠OAN= ∠NCM (vì ΔCAM ~ ΔCBA (g.g) => ∠CAM= ∠CBA)
Xét Δ MCN và ΔOAN có
∠NCM= ∠OAN
∠MNC= ∠ONA
=> Δ MCN ~ ΔOAN (g.g)
=> CN/ AN= MC/ OA
=> CN. OA= AN. CM
Có ∠MNC= ∠ONA
=> ∠MNC+ ∠CNO= ∠ONA+ ∠CNO
=> ∠MNO= ∠CNA
Xét ΔCAH vuông cân tại A có AN là đường phân giác
=> AN là đường cao
=> ∠ANC= 90 độ => ∠MNO= 90 độ
Xét ΔANC vuông tại N có AN= NC
=> ΔANC vuông cân tại N=> ∠ACN= ∠CAN= 45 độ
Xét Δ MCN ~ ΔOAN => MN/ ON= CN/ AN
Mà CN= AN => MN= ON
Xét ΔMNO vuông tại N có MN=ON
=> ΔMNO vuông cân tại N=> ∠MON= ∠OMN= 45 độ
Xét ΔMNO và ΔCNA có
∠OMN= ∠ACN= 45 độ
∠ MON= ∠CAN= 45 độ
=> ΔMNO ~ ΔCNA (g.g)
=> MN/ CN= OM/AC
=> MN. AC= CN. OM
Có AC. MN+ AN. CM= CN. OM+ CN. OA= CN. AM (đpcm)