Đáp án:
$P_{min}=3\sqrt{2}$ khi `x=y=\sqrt{2}/2`
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số dương `x^2;y^2` ta có:
`\qquad x^2+y^2\ge 2\sqrt{x^2 .y^2}=2xy`
`=>1\ge 2xy` (vì `x^2+y^2=1`)
`=>xy\le 1/2=>\sqrt{xy}\le 1/\sqrt{2}`
`=>1/\sqrt{xy}\ge \sqrt{2}`
$\\$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số dương ta có:
`\qquad x+y\ge 2\sqrt{xy}`
`\qquad 1/x+1/y\ge 2\sqrt{1/ x . 1/y}=2/\sqrt{xy}`
`=>P=x+1/x+y+1/y=(x+y)+(1/x+1/y)`
`\qquad \ge 2\sqrt{xy}+2/\sqrt{xy}`
`\qquad \ge (2\sqrt{xy}+1/\sqrt{xy})+1/\sqrt{xy}`
`\qquad \ge 2\sqrt{2\sqrt{xy} . 1/\sqrt{xy}}+\sqrt{2}` (BĐT Cosi)
`\qquad \ge 2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}`
`=>P\ge 3\sqrt{2}`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}x=y\\x^2+y^2=1\\2\sqrt{xy}=\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\end{cases}$`=>x=y=1/\sqrt{2}=\sqrt{2}/2` (thỏa mãn)
Vậy $GTNN$ của $P$ bằng `3\sqrt{2}` khi `x=y=\sqrt{2}/2`
