Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AD, BE$ là đường cao $\Delta ABC\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\to CH\perp AB$
$\to\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$
Mà $\widehat{FAC}=\widehat{BAE}$
$\to\Delta AEB\sim\Delta AFC(g.g)$
$\to\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}$
$\to\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$
Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$
$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$
b.Ta có $\Delta BFC$ vuông tại $F, N$ là trung điểm $BC$
$\to NF=NB=NC$
Tương tự $NE=NB=NC\to NE=NF\to\Delta NEF$ cân tại $N$
Mà $M$ là trung điểm $EF\to MN\perp EF$
c.Ta có:
$\dfrac{AD}{HD}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}$
$\dfrac{BE}{HE}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAC}}$
$\dfrac{CF}{HF}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAB}}$
$\to P=\dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAC}}+\dfrac{S_{ABC}}{S_{HAB}}$
$\to P=S_{ABC}\cdot (\dfrac{1}{S_{HBC}}+\dfrac{1}{S_{HAC}}+\dfrac{1}{S_{HAB}})$
$\to P\ge S_{ABC}\cdot \dfrac{9}{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}$
$\to P\ge S_{ABC}\cdot \dfrac{9}{S_{ABC}}$
$\to P\ge 9$
Dấu = xảy ra khi $S_{HAB}=S_{HCB}=S_{HCA}\to \Delta ABC$ đều
d.Từ câu a
$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2=\cos^2\hat A=\cos^260^o$
$\to S_{AEF}=\dfrac14S_{ABC}$
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
Ta có $\hat A=60^o, BC=a$ không đổi $\to (O)$ cố định
Kẻ $OG\perp AD\to OGDN$ là hình chữ nhật $\to GD=ON$
$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot AD\cdot BC$
$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot (AG+GD)\cdot BC$
$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot (AG+ON)\cdot BC$
$\to S_{ABC}\le \dfrac12\cdot (AO+ON)\cdot BC$ không đổi
Dấu = xảy ra khi $A,O,N$ thẳng hàng
$\to A$ nằm giữa cung $BC\to \Delta ABC$ đều
$\to S_{AEF}\le \dfrac18\cdot (AO+ON)\cdot BC$
