1) Xét $∆ABE$ và $∆ACF$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$
Do đó $∆ABE\sim ∆ACF\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{AB}{AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$
Xét $∆AEF$ và $∆ABC$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ $(cmt)$
Do đó $∆AEF\sim ∆ABC\, (c.g.c)$
b) Ta có:
$BDHF$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{D} + \widehat{F} = 180^o)$
$\Rightarrow \widehat{DFH} =\widehat{DBF}$
$AEHF$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{E} + \widehat{F} = 180^o)$
$\Rightarrow \widehat{EFH} = \widehat{EAH}$
Mặt khác:
$\widehat{DBH} = \widehat{CBE} =\widehat{DAC} = \widehat{EAH}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$
Do đó:
$\widehat{DFH} = \widehat{EFH}$
$\Rightarrow FH$ là phân giác của $\widehat{DFE}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$
$DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
$\Rightarrow H$ là giao điểm 3 đường phân giác của $∆DEF$
3) Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{3}$ $(1)$
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta được
$\dfrac{[(p - a) + (p - b)+(p-c)]^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^4}{27} \geq p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq S$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3} \geq \sqrt3S$
$\Leftrightarrow \dfrac{4p^2}{3}\geq 4\sqrt3S$
$\Leftrightarrow \dfrac{(2p)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a + b + c)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow∆ABC$ đều
_______________________________________________
Ta có:
$+)\quad a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$
Bất đẳng thức $Weizenbock$
$+)\quad 2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)\geq 4\sqrt3S$
Bất đẳng thức $Hadwiger-Finsler$
