Ta có
$A = (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$
$= (x-y + y-z)[(x-y)^2 + (y-z)^2 - (x-y)(y-z)] - (x-z)^3$
$= (x-z)[x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2yz + z^2 - (xy - zx - y^2 + yz)] - (x-z)^3$
$= (x-z)(x^2 + 3y^2 +z^2 -3xy -3yz + zx) - (x-z)^3$
$= (x-z)[x^2 + 3y^2 +z^2 -3xy -3yz + zx - (x-z)^2]$
$= (x-z)[x^2 + 3y^2 +z^2 -3xy -3yz + zx - (x^2 - 2zx + z^2)]$
$= (x-z)(x^2 + 3y^2 +z^2 -3xy -3yz + zx - x^2 + 2zx - z^2)$
$= (x-z)(3y^2 -3xy - 3yz + 3zx)$
$= 3(x-z)(y^2 - xy - yz + zx)$
$= 3(x-z)[y(y-x) - z(y-x)]$
$= 3(x-z)(y-x)(y-z)$
$= 3(x-y)(y-z)(z-x)$
Dễ thấy $A$ chia hết cho $3$. Ta cần cminh $A$ chia hết cho 2.
Ta thấy biểu thức của $A$ đối xứng với $x, y, z$. Vậy ta có 3 trường hợp.
TH1: $x, y, z$ đều chẵn hoặc đều lẻ
Khi đó hiển nhiên tích của $x-y$, $y-z$, $y-z$ là số chẵn. Vậy $A$ là số chẵn.
TH2: Một trong 3 số $x, y, z$ là số lẻ, các số còn lại là số chẵn
Do vai trò của $x, y, z$ là như nhau nên ko mất tquat, giả sử $z$ là số lẻ, khi đó $x,y$ là các số chẵn, suy ra $x - y$ là số chẵn. Vậy $A$ là số chẵn.
TH3: Một trong 3 số $x, y, z$ là số chẵn, các số còn lại là số lẻ.
Do vai trò của $x, y, z$ là như nhau nên ko mất tquat, giả sử $z$ là số chẵn, khi đó $x,y$ là các số lẻ, suy ra $x - y$ là số chẵn. Vậy $A$ là số chẵn.
Do đó, trong mọi trường hợp ta đều có $(x-y)(y-z)(z-x)$ là một số chẵn, suy ra $A$ chia hết cho 2.
Lại có $A$ chia hết cho 3 nên $A$ chia hết cho $6$.
