a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB^2 = BH.BC$
$\Leftrightarrow AB^2 = BH(BH + HC)$
$\Leftrightarrow BH^2 + BH.HC - AB^2 = 0$
$\Leftrightarrow BH^2 + 6,4HC - 6^2 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}BH = -10 \quad (loại)\\BH = 3,6 \, cm\quad (nhận) \end{array}\right.$
$\Rightarrow BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10\, cm$
Vậy $BC = 10\, cm; \, HC = 3,6\, cm$
b) Ta có:
$AB.AC = BC.AH = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$
Ta được:
$BC.BD.CE = \dfrac{AB.AC}{AH}.BD.CE$
$= \dfrac{(AB.BD).(AC.CE)}{AH}$
$= \dfrac{BH^2.CH^2}{AH}$
$= \dfrac{AH^4}{AH} = AH^3$
Ta lại có: $\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$
$\Rightarrow ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH = DE$
Do đó $DE^3 = AH^3 = BC.BD.CE \quad (đpcm)$
c) Ta có:
- Bồ đề hình thang: Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường chéo và giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy
- Chùm đường thẳng đồng quy: Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ và ngược lại.
Gọi $F = AM\cap BH$
$I = AH\cap DE$
$J = DE\cap MB$
$K = DE\cap NC$
Áp dụng bổ đề hình thang và chùm đường thẳng đồng quy, ta được:
$F = MA\cap DE \cap BH$
Gọi $F' = AN\cap HC$
$\Rightarrow F' = AN\cap HC\cap DE$
mà $DE\cap HC = F$
$\Rightarrow F'\equiv F$
$\Rightarrow M, A, N$ thẳng hàng
d) Xét hình thang $MNCB$
Dựa vào câu c ta được:
$DE$ đi qua trung điểm $MB$ và $NC$
$\Rightarrow DE$ đi qua giao điểm $BN$ và $CM$
$\Rightarrow DE, BN, CM$ đồng quy
