Các đẳng thức trên chỉ đúng với $a, b, c \geq 0$ mà thôi.
Thật vậy, áp dụng BDT Cauchy ta có
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{c} . \dfrac{c}{a}} = 3$
Lại có
$a +b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$
và
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a} . \dfrac{1}{b} . \dfrac{1}{c}}$
Do đó
$(a+b+c) \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right) \geq 3\sqrt[3]{abc} . 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a} . \dfrac{1}{b} . \dfrac{1}{c}} = 9$
hay
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$.
