`a)` Vì $(O')$ tiếp xúc $MN$ tại $N$ (gt)
`=>MN` là tiếp tuyến tại $N$ của $(O')$
Xét $(O')$ ta có:
`\hat{MNQ}=1/2sđ\stackrel\frown{NQ}` (góc tạo bởi tiếp tuyến $MN$ và dây cung $NQ$)
`\hat{NRQ}=1/2sđ\stackrel\frown{NQ}` (góc nội tiếp chắn cung $NQ$)
`=>\hat{MNQ}=\hat{NRQ}` (đpcm)
$\\$
`b)` Xét $(O)$
`\hat{PMQ}=1/2sđ\stackrel\frown{MQ}` (góc tạo bởi tiếp tuyến $PM$ và dây cung $MQ$)
`\hat{MNQ}=1/2sđ\stackrel\frown{MQ}` (góc nội tiếp chắn cung $MQ$)
`=>\hat{PMQ}=\hat{MNQ}`
Vì `\hat{MNQ}=\hat{NRQ}` (câu a)
`=>\hat{PMQ}=\hat{NRQ}`
Mà hai góc `\hat{PMQ};\hat{NRQ}` ở vị trí so le trong
`=>PM`//$RN$ $(1)$
$\\$
Xét $(O)$ ta có:
`\hat{PNQ}=1/2sđ\stackrel\frown{NQ}` (góc tạo bởi tiếp tuyến $PN$ và dây cung $NQ$)
`\hat{QMN}=1/2sđ\stackrel\frown{NQ}` (góc nội tiếp chắn cung $NQ$)
`=>\hat{PNQ}=\hat{QMN}`
$\\$
Xét $(O')$ ta có:
`\hat{PRQ}=\hat{PNQ}=1/2sđ\stackrel\frown{PQ}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $PQ$)
$\\$
`=>\hat{PRQ}=\hat{QMN}`
Mà hai góc `\hat{PRQ};\hat{QMN}` ở vị trí so le trong
`=>PR`//$MN$ $(2)$
Từ `(1);(2)=>RPMN` là hình bình hành
`=>2` đường chéo $NP; MR$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Gọi $I$ là trung điểm của $NP$
`=>MR` đi qua $I$
`=>MQ` đi qua $I$
Vậy đường thẳng $MQ$ chia dây $NP$ của $(O')$ thành hai phần bằng nhau ($IN$ và $IP$)
