Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
Ta cần chứng minh:
$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+b+c)^3$
$⇔ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
$⇔ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geq a^3+b^3+c^3$
Vì $a ∈ [1; 2]$ nên $a(a-1)(a-2) \leq 0$
$⇔ a^3-3a^2+2a \leq 0$
$⇔ a^3 \leq 3a^2-2a$
Tương tự: $b^3 \leq 3b^2-2b$
$c^3 \leq 3c^2-2c$
Cộng từng vế $3$ bất đẳng thức trên ta được:
$a^3+b^3+c^3 \leq 3a^2+3b^2+3c^2-2a-2b-2c$
Khi đó ta cần chứng minh:
$3a^2+3b^2+3c^2-2a-2b-2c \leq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$
$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2 \leq 2a+2b+2c+ab+bc+ca$
Vì $a, b, c ∈ [1; 2]$ nên $(a-1)(a-2) \leq 0$
$⇔ a^2-3a+2 \leq 0$
Tương tự: $b^2-3b+2 \leq 0$
$c^2-3c+2 \leq 0$
Từ đó: $a^2+b^2+c^2 \leq 3a+3b+3c-6$
$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2 \leq 6a+6b+6c-12$
Khi đó ta cần chứng minh:
$6a+6b+6c-12 \leq 2a+2b+2c+ab+bc+ca$
$⇔ 4a+4b+4c-12 \leq ab+bc+ca$
Mặt khác: $a, b, c ∈ [1; 2]$
$⇒ (a-2)(b-2) \geq 0$
$⇔ ab-2a-2b+4 \geq 0$
$⇔ ab \geq 2a+2b-4$
Tương tự: $bc \geq 2b+2c-4$
$ca \geq 2c+2a-4$
Từ đó suy ra: $ab+bc+ca \geq 4a+4b+4c-12$
Hay $4a+4b+4c-12 \leq ab+bc+ca$
$⇒ đpcm$
Dấu $"="$ xảy ra khi $(a; b; c)=(1; 2; 2)$ và các hoán vị.
