Giải thích các bước giải:
Không mất tính tổng quát giả sử $0\le x\le y\le z$
$\to (y-z)(y-z)\le 0\to y^2+xz\le xy+zy$
$\to y^2z+z^2x\le xyz+z^2y$
$\to x^2y+y^2z+z^2x\le x^2y+ xyz+z^2y$
$\begin{split}\to x^2y+y^2z+z^2x&\le y(x^2+xz+z^2)\\&\le y(x^2+2xz+z^2)\\&=y(x+z)^2\\&=\dfrac 12.2y(x+z)(x+z)\\&\le \dfrac 12.\dfrac{1}{27}(2y+x+z+x+z)^3\\&=\dfrac{4}{27}\end{split}$
Dấu =x ảy ra khi $(x,y,z)=(0,\dfrac 13,\dfrac 23)$
