Đáp án:
Phương trình bậc bốn hệ số số phức:
{\displaystyle x^{4}+d_{1}x^{3}+d_{2}x^{2}+d_{3}x+d_{4}=0}
{\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}\in \mathbb {C} }
Đặt
{\displaystyle x=Y-{\frac {d_{1}}{4}}}
Phương trình bậc bốn đưa về dạng rút gọn theo ẩn Y:
{\displaystyle Y^{4}+a_{2}Y^{2}+a_{3}Y+a_{4}=0}
{\displaystyle a_{2},a_{3},a_{4}\in \mathbb {C} }
Một cách giải phương trình bậc bốn đơn giản[sửa | sửa mã nguồn]
Ta đưa phương trình bậc bốn về dạng rút gọn rồi giải như sau:
{\displaystyle X^{4}+aX^{2}+bX+c=0}
Tương đương với:
{\displaystyle (X^{2}+m)^{2}+(a-2m)X^{2}+bX+c-m^{2}=0}
Hay:
{\displaystyle (X^{2}+m)^{2}-(2m-a)[X^{2}-{\frac {b}{2m-a}}X+{\frac {m^{2}-c}{2m-a}}]=0}
Chọn m thỏa
{\displaystyle {\frac {b}{2(2m-a)}}={\sqrt {\frac {m^{2}-c}{2m-a}}}}
Hay:
{\displaystyle b^{2}=4(2m-a)(m^{2}-c)}
m là nghiệm của một phương trình bậc 3 nên giải được.
- Nếu b = 0 thì phương trình bậc 4 đưa về dạng trùng phương, việc giải phương trình bậc 4 tương đương với việc giải phương trình bậc 2
{\displaystyle X^{4}+aX^{2}+c=0}
- Nếu b≠0 thì (a - 2m)≠0, phương trình mới có dạng sau là hiệu của hai bình phương nên giải được bằng cách phân tích nhân tử bậc hai của X:
{\displaystyle (X^{2}+m)^{2}-(2m-a)[X-{\frac {b}{2(2m-a)}}]^{2}=0}
Hay
{\displaystyle [X^{2}-({\sqrt {2m-a}})X+{\frac {b}{2({\sqrt {2m-a}})}}+m][X^{2}+({\sqrt {2m-a}})X-{\frac {b}{2({\sqrt {2m-a}})}}+m]=0}
Giải nghiệm hai phương trình bậc hai sẽ tìm được nghiệm phương trình bậc bốn
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}[{\sqrt {2m-a}}+{\sqrt {-{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]}
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}[{\sqrt {2m-a}}-{\sqrt {-{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]}
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}[-{\sqrt {2m-a}}+{\sqrt {{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]}
{\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}[-{\sqrt {2m-a}}-{\sqrt {{\frac {2b}{\sqrt {2m-a}}}-2m-a}}]}
Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
{\displaystyle x^{4}+4x^{3}-4x^{2}-12x+9=0}
{\displaystyle x=y-{\frac {d_{1}}{4}}=y-1}
{\displaystyle y^{4}-10y^{2}+4y+14=0}
{\displaystyle a=-10,b=4,c=14,m=-4}
{\displaystyle y_{1}={\frac {1}{2}}({\sqrt {2}}+{\sqrt {-{\frac {8}{\sqrt {2}}}+8+10}})=2.46374745}
{\displaystyle y_{2}={\frac {1}{2}}({\sqrt {2}}-{\sqrt {-{\frac {8}{\sqrt {2}}}+8+10}})=-1.049533887}
{\displaystyle y_{3}={\frac {1}{2}}(-{\sqrt {2}}+{\sqrt {{\frac {8}{\sqrt {2}}}+8+10}})=1,724808835}
{\displaystyle y_{4}={\frac {1}{2}}(-{\sqrt {2}}-{\sqrt {{\frac {8}{\sqrt {2}}}+8+10}})=-3.139022397}444
{\displaystyle x=y-1}
{\displaystyle x_{1}=1.46374745}
{\displaystyle x_{2}=-2.049533887}
{\displaystyle x_{3}=0.724808835}
{\displaystyle x_{4}=-4.139022397} cách giải đó
Giải thích các bước giải:
