$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}-\frac{5}{a+\sqrt{a}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{a}}$
$=\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}-\frac{5}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{1}{\sqrt{a}-2}$
$=\frac{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)-5-\sqrt{a}-3}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{a-4-5-\sqrt{a}-3}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{a-12-\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-4)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}$
