Đáp án:
Câu 16: $D.\ (4;5)$
Câu 17: $B.\ (0;1)$
Câu 18: $B.\ 3$
Giải thích các bước giải:
Câu 16:
$\quad y = f(5 -2x)$
$\Rightarrow y' = - 2f'(5 - 2x)$
Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow y' > 0$
$\Leftrightarrow - 2f'(5-2x) > 0$
$\Leftrightarrow f'(5-2x) < 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}5 - 2x < -3\\- 1 < 5 - 2x < 1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x > 4\\2 < x < 3\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x \in (2;3)\cup (4;+\infty)$
Câu 17:
$\quad f'(x) = (x-1)(x-2)$
$\Rightarrow f'(2 - x^2) = -x^2(1 - x^2)$
Ta có:
$\quad y = f(2-x^2)$
$\Rightarrow y' = - 2xf'(2-x^2)$
$\Rightarrow y' = 2x^3(1-x^2)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x =-1\\x = 0\\x = 1\end{array}\right.$
Bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\\hline y'&&+&0&-&0&+&0&-&\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu, ta được:
Hàm số $y = f(2- x^2)$ đồng biến trên $(-\infty;-1)$ và $ (0;1)$
Câu 18:
$\quad y = |x^3 - mx +1|$
Xét $y = f(x)= x^3 - mx + 1$
$\bullet\quad m= 0$, ta được:
$f(x)= x^3 + 1$
$\Rightarrow f'(x)= 3x^2 \geqslant 0\quad \forall x\in\Bbb R$
$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\Bbb R$
Ta lại có:
$f(1) = 2 > 0$
Do đó:
$y = |f(x)|$ đồng biến trên $[1;+\infty)$
$\bullet\quad m \ne 0$, ta được:
$f'(x)= 3x^2 - m$
$\circledast\quad m < 0$
$\Rightarrow \begin{cases}f'(x) > 0\\f(1) = 2- m > 0\end{cases}$
$\Rightarrow y = |f(x)|$ đồng biến trên $[1;+\infty)$
$\circledast\quad m > 0$
$\Rightarrow f'(x)= 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;\ x_2$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1+x_2 =0\\x_1x_2 = -\dfrac m3\end{cases}$
Khi đó:
$y = |f(x)|$ đồng biến trên $[1;+\infty)$ khi và chỉ khi
$\begin{cases}x_1 < x_2 \leqslant 1\\ af(1) \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}(1-x_1)(1-x_2)\geqslant 0\\2 - m \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}1 - (x_1+x_2) + x_1x_2 \geqslant 0\\2 - m \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}1 - \dfrac m3 \geqslant 0\\2 - m \geqslant 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow m \leqslant 2$
Do đó: $0 < m \leqslant 2$
Ta được:
$m \in (-\infty; 2]$
mà $m\in \Bbb N$
nên $m\in S = \{0;1;2\}$
Tổng các phần tử của $S = 0 +1+2 = 3$
