`\qquad x^2-(m+5)x+3m+6`
Ta có:
`∆=b^2-4ac=[-(m+5)]^2-4(3m+6)`
`∆=m^2+10m+25-12m-24`
`∆=m^2-2m+1=(m-1)^2\ge 0 \ \forall m`
`=>` phương trình luôn có $2$ nghiệm `x_1;x_2`
Theo định lý Viet ta có:
`x_1+x_2={-b}/a=m+5`
`x_1 x_2=c/a=3m+6`
Để pt có $2$ nghiệm $x_1;x_2$ có độ dài của $1$ tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5$ thì:
`\qquad x_1>0;x_2>0;x_1^2+x_2^2=5^2`
$⇒\begin{cases}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\\(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m+5>0\\3m+6>0\\(m+5)^2-2(3m+6)=25\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m>-5\\m>-2\\m^2+4m-12=0\end{cases}$
$⇔\begin{cases}m>-2\\(m+6)(m-2)=0\end{cases}$
$⇔\left\{\begin{matrix}m>-2\\ \left[\begin{array}{l}m+6=0 \\m-2=0\end{array}\right.\end{matrix}\right.$ $⇔\left\{\begin{matrix}m>-2\\ \left[\begin{array}{l}m=-6\ (loại) \\m=2\ (nhận) \end{array}\right.\end{matrix}\right.$
Vậy $m=2$
