`a)` Giả sử:
`a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`
`-> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca >= 0`
`-> (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ca + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) >= 0`
`-> (a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 >= 0` (luôn đúng với `AA a,b,c in RR)`
`-> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`
`b)` Áp dụng bất đẳng thức `AM - GM,` ta được:
`a^2 + b^2 >= 2sqrt{(a.b)^2} = 2ab`
`a^2 + 1 >= 2a`
`b^2 + 1 >= 2b`
`-> 2a^2 + 2b^2 + 2 >= 2ab + 2a + 2b`
`-> 2(a^2 + b^2 + 1) >= 2(ab + a + b)`
`-> a^2 + b^2 + 1 >= ab + a + b`
`d)` Giả sử:
`a^2 + b^2 + c^2 >= 2(ab + bc - ca)`
`-> a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca >= 0`
`-> (a - b + c)^2 >= 0` (luôn đúng `AA a,b,c in RR)`
`-> a^2 + b^2 + c^2 >= 2(ab + bc - ca)`
