a) Ta có: $AB = BP \, (gt)$

$AC = CQ \, (gt)$

$\Rightarrow BC$ là đường trung bình

$\Rightarrow BC//PQ; \, BC = \dfrac{PQ}{2}$

mà $PQ//MN$ ($MNPQ$ là hình chữ nhật)

nên $BC//MN$

b) Ta có:

$BC//MN$ (câu a)

$\Rightarrow BC//DN$ $(1)$

Ta lại có: $BC = \dfrac{PQ}{2} =\dfrac{MN}{2}$

$DN = DM = \dfrac{MN}{2}$

$\Rightarrow BC = DN$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow BCDN$ là hình bình hành

c) Ta có: $BC//QP$

$\Rightarrow BC\perp NP$

Xét $∆NCP$ có:

$PA$ là đường cao ứng với cạnh $NC$ $(PA\perp NC)$

$CB$ là đường cao ứng với cạnh $NP$ $(CB\perp NP)$

$PA$ giao $CB$ tại $B$

$\Rightarrow B$ là trực tâm của $∆NCP$

$\Rightarrow NE$ là đường cao ứng với cạnh $CP$

hay $NE\perp CP$

$\Rightarrow\widehat{CEF} = 90^o$

Ta có: $BCDN$ là hình bình hành (câu b)

$\Rightarrow \widehat{DCB} = \widehat{DNB}$

$BC//PQ$

$\Rightarrow \widehat{BCE} = \widehat{QPC}$ (so le trong)

mà $\widehat{QPC} = \widehat{PNE}$ (cùng phụ $\widehat{NPE}$)

nên $\widehat{BCE} = \widehat{PNE}$

Ta được: $\widehat{DNE} + \widehat{PNE} =\widehat{PND} = 90^o$

$\Rightarrow\widehat{BCD} + \widehat{BCE} = 90^o = \widehat{DCE}$

Xét tứ giác $DCEF$ có:

$\widehat{F} = 90^o \, (DF\perp NE)$

$\widehat{E} = 90^o \, (cmt)$

$\widehat{DCE} = 90^o \, (cmt)$

Do đó $DCEF$ là hình chữ nhật

d) Ta có:

$BC//PQ$

$\Rightarrow BC\perp NP$

$\Rightarrow CH\perp NP$

$\Rightarrow \widehat{H} = 90^o$

$CG\perp MN\, (gt)$

$\Rightarrow\widehat{G} = 90^o$

Xét tứ giác $CGNH$ có:

$\widehat{G} = \widehat{N} = \widehat{H} = 90^o$

Do đó $CGNH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow CG = NH$

Xét $∆GCD \, (\widehat{G} = 90^o)$ và $∆HNB \, (\widehat{H} = 90^o)$ có:

$CG = NH \, (cmt)$

$CD = NB$ ($CDNB$ là hình bình hành)

Do đó $∆GCD = ∆HNB$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow GD = BH$

Ta lại có: $BC//MN$ (câu a)

$\Rightarrow BH//GD$

Xét tứ giác $GDHB$ có:

$GD=BH \,(cmt)$

$GD//BH$

Do đó $GDHB$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ hai đường chéo $DB, GH$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường