2a) $(P): 2x + y - 2z + 10 = 0$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=(2;1;-2)$ là VTPT của $(P)$
$(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 10 = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 16$
$(S)$ có tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R = 4$
Phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $I$ là vuông góc với $(P):$
$(d):\begin{cases}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = - 1 - 2t\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$
Toạ độ tâm của đường tròn giao tuyến chính là giao điểm của $(d)$ và $(P)$
Toạ độ tâm của đường tròn giao tuyến là nghiệm của hệ:
$\quad\begin{cases}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = - 1 - 2t\\2x + y - 2z + 10= 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow 2(1+2t) + (-2+t) - 2(-1-2t) +10 = 0$
$\Leftrightarrow 3t + 4 = 0$
$\Leftrightarrow t = -\dfrac43$
$\Rightarrow H\left(-\dfrac53;-\dfrac{10}{3};-\dfrac{11}{3}\right)$ là tâm của đường tròn giao tuyến
Mặt khác:
$\quad d(I;(P))=\dfrac{|2.1 + (-2) - 2.(-1) + 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = 4$
$\Rightarrow r = \sqrt{R^2 - d^2(I;(P))} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt3$
2b) $(Q): 2x + y - 2z + 1 = 0$
$(P)//(Q)$
$\Rightarrow (P): 2x + y - 2z + d = 0\quad (d\ne 1)$
$(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 23 = 0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 25$
$(S)$ có tâm $I(1;0;1)$, bán kính $R = 5$
Ta có:
$\quad d(I;(P))= \sqrt{R^2 - r^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{|2.1 + 0 - 2.1 + d|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}= \sqrt{25 - 16}$
$\Leftrightarrow |d| = 9$
$\Leftrightarrow d = \pm 9$
Vậy $(P): 2x + y - 2z + 9 = 0$ hoặc $(P): 2x + y - 2z - 9 = 0$
