Đáp án:
$A.\ \dfrac13$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow \begin{cases}SO\perp (ABCD)\quad \text{(hình chóp đều)}\\AC= BD = a\sqrt2\\OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}\end{cases}$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad SD^2 = SO^2 + OD^2$
$\Rightarrow SO =\sqrt{SD^2 - OD^2}=\sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2}= \dfrac{a\sqrt2}{2}$
Trong $mp(SBD)$ kẻ $MH\perp BD$
$\Rightarrow MH//SO$
$\Rightarrow HO = HD =\dfrac12OD=\dfrac{a\sqrt2}{4}$
$\Rightarrow MH =\dfrac12SO = \dfrac{a\sqrt2}{4}$
Ta có:
$MH//SO$ (cách dựng)
$\Rightarrow MH\perp (ABCD)$
$\Rightarrow HB$ là hình chiếu của $MB$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(MB;(ABCD))}=\widehat{MBH}$
Khi đó:
$\quad \tan\widehat{MBH}=\dfrac{MH}{BH}$
$\Rightarrow \tan\widehat{MBH}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{4}}{\dfrac{3a\sqrt2}{4}}=\dfrac13$
Vậy $\tan(MB;(ABCD))=\dfrac13$
