Cắt hình nón aleph bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo A.\(\sqrt 7 \pi {a^2}\) B.\(\sqrt {13} \pi {a^2}\) C.\(2\sqrt {13} \pi {a^2}\) D.\(2\sqrt 7 \pi {a^2}\)
Áp dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa đáy và mặt phẳng qua đỉnh. Từ đó tìm được mối quan hệ giữa chiều cao của hình nón và bán kính đáy. Biến đổi, tính toán để tìm được bán kính đáy. Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh nón: \({S_{xq}} = \pi rl.\)Giải chi tiết: Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón là \(\left( {SMN} \right)\). Do thiết diện của \(\left( {SMN} \right)\) và hình nón là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(SM = MN = SN = 2a\) Kẻ \(OH \bot AB\). Nối \(S\) với \(H.\) Khi đó \(H\) là trung điểm \(MN\) nên \(SH = a\sqrt 3 \) Ta có: góc giữa \(\left( {SMN} \right)\) và mặt đáy là \(\angle SHO\) Trong tam giác \(SHO\) vuông tại \(O\) ta có: \(\tan SHO = \dfrac{{SO}}{{OH}}\)\( \Rightarrow \tan {30^o} = \dfrac{{SO}}{{OH}} \Rightarrow SO = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.OH\) Theo định lí py-ta-go ta có: \(S{O^2} + O{H^2} = S{H^2}\)\( \Rightarrow \dfrac{4}{3}O{H^2} = S{H^2} \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}SH = \dfrac{{3a}}{2}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)\( \Rightarrow OM = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\) Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi .\dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}.2a = \pi \sqrt {13} {a^2}\) Chọn B