Đáp án:
51) $V_{nón} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{33}}{27}$
52) $V_{nón} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{33}}{108}$
Giải thích các bước giải:
51) Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$
$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$, bán kính $OA$
Ta có:
$+) \quad OA = \dfrac{AB\sqrt3}{3} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow S_{(O;OA)} = \pi\cdot\left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{3}$
$+) \quad SO\perp (ABC)$ (hình chóp đều)
$\Rightarrow SO\perp OA$
$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{33}}{3}$
Ta được:
$V_{nón} = \dfrac13S_{(O;OA)}.SO = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\pi}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{33}}{3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{33}}{27}$
52) $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$
$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔABC$
Gọi $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow OM\perp BC$
$\Rightarrow OM$ là bán kính đường tròn nội tiếp $ΔABC$
$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{a\sqrt3}{6}$
$\Rightarrow S_{(O;OM)} = \pi\cdot\left(\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{12}$
$\Rightarrow V_{nón} = \dfrac13S_{(O;OM)}.SO = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\pi}{12}\cdot \dfrac{a\sqrt{33}}{3} = \dfrac{a^3\pi\sqrt{33}}{108}$
