`c)` Xét $∆ABD$ và $∆AHD$ có:
`\qquad \hat{ABD}=\hat{AHD}=90°`
`\qquad AD` chung
`\qquad \hat{BAD}=\hat{HAD}` (do $AD$ là phân giác `\hat{BAC}`)
`=>∆ABD=∆AHD` (cạnh huyền - góc nhọn)
`=>AB=AH; BD=HD` (hai cạnh tương ứng)
`=>AD` là đường trung trực của $BH$
Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BH$
`=> AD`$\perp BH$ tại $I$
`=>\hat{BAI}+\hat{ABI}=90°` (hai góc phụ nhau)
Mà `\hat{DBI}+\hat{ABI}=\hat{ABD}=90°`
`=>\hat{DBI}=\hat{BAI}=\hat{FAM}` (do $AD$ là phân giác `\hat{BAC}`)
`=>\hat{DBH}=\hat{FAM}`
$\\$
$∆ABC$ có $E;F$ lần lượt là trung điểm $BC;AC$ (gt)
`=>EF` là đường trung bình $∆ABC$
`=>EF`//$AB$
Mà $AC\perp AB$`=>EF`$\perp AC$
`=>\hat{CDH}=\hat{EFC}` (cùng phụ với `\hat{ECF}`)
Vì: `\hat{BDH}+\hat{CDH}=180°` (hai góc kề bù)
`\qquad \hat{AFM}+\hat{EFC}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{BDH}=\hat{AFM}`
$\\$
Xét $∆BDH$ và $∆AFM$ có:
`\qquad \hat{DBH}=\hat{FAM}` (c/m trên)
`\qquad \hat{BDH}=\hat{AFM}` (c/m trên)
`=>∆BDH∽∆AFM` (g-g)
$\\$
`d)` Vì $E$ là trung điểm `BC=>BC=2BE`
Ta có:
`\qquad S_{∆ABC}=1/ 2 AB.BC`
`=1/ 2 .AB.2BE=AB.BE` $(1)$
$\\$
Vẽ $MN\perp AB$ tại $N$
Xét tứ giác $BEMN$ có:
`\qquad \hat{BNM}=\hat{NBE}=\hat{BEM}=90°`
`=>BEMN` là hình chữ nhật
`=>NM=BE`
$\\$
$AD$ là trung trực của $BH$ (câu c)
Vì `M\in AD=>MB=MH`
Xét $∆ABM$ và $∆AHM$ có:
`\qquad AM` là cạnh chung
`\qquad AB=AH` (câu b)
`\qquad MB=MH` (c/m trên)
`=>∆ABM=∆AHM` (c-c-c)
`=>S_{ABMH}=S_{∆ABM}+S_{∆AHM}=2S_{∆ABM}`
`=2. 1/ 2 .AB.NM=AB.BE` $(2)$
Từ `(1);(2)=>S_{∆ABC}=S_{∆ABMH}`
