Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với $n = 1$, khi đó ta có
$1^2 = 1 = \dfrac{1(1+1)(2.1+1)}{6} = 1$
Giả sử rằng đẳng thức đúng đến $k = n$. Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $k = n+1$. Tức là ta cần cminh
$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
Ta có
$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = (1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + (n+1)^2$
Do đẳng thức đúng đến $n$ nên ta có
$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Thay vào ta có
$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2$
$= \dfrac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6}$
$= \dfrac{(n^2+n)(2n+1) + 6(n^2+2n+1)}{6}$
$= \dfrac{2n^3 + 3n^2 + n + 6n^2 + 12n + 6}{6}$
$= \dfrac{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}$
$= \dfrac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}$
$= \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
$= \dfrac{(n+1)[(n+1)+1] [2(n+1) + 1]}{6}$
Vậy
$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{(n+1)[(n+1)+1] [2(n+1) + 1]}{6}$
Do đó đẳng thức đúng đến $k = n+1$. Vậy ta hoàn thành chứng minh.
