Đáp án:
$1. x = y = z = 3$
$2.$ GTNN $P = 3$ khi $a = 1$
Giải thích các bước giải:
$1. x^{2} + y^{2} + z^{2} = xy + yz + xz$
⇔ $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} = 2xy + 2yz + 2xz$
⇔ $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 2xy - 2yz - 2xz = 0$
⇔ $( x - y )^{2} + ( y - z )^{2} + ( x - z )^{2} = 0$
Nhận xét : Vế trái luôn $≥ 0$ với $∀ x , y , z ∈ Z$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x - y = 0 , y - z = 0 , x - z = 0$
⇔ $x = y = z$
Ta có : $x^{2021} + y^{2021} + z^{2021} = 3^{2022}$
⇔ $3x^{2021} = 3^{2022}$
⇔ $x^{2021} = 3^{2021}$
⇔ $x = 3$
⇔ $x = y = z = 3$
$2. P = a^{4} - 2a^{3} + 3a^{2} - 4a + 5$
⇔ $P = ( a^{4} - 2a^{3} + a^{2} ) + 2( a^{2} - 2a + 1 ) + 3$
⇔ $P = ( a^{2} - a )^{2} + 2( a - 1 )^{2} + 3 ≥ 3$ với $∀ a$
( vì $( a^{2} - a )^{2} + 2( a - 1 )^{2} ≥ 0$ với $∀ a$ )
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a^{2} - a = 0 , a - 1 = 0$
⇔ $a = 1$
