Đáp án:
\[m \in \left( {1;2} \right)\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} + {x^2}} \right) + \left( {2{x^2} + 2x} \right) + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x + 1} \right) + {\left( {2m - 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{x^2} + 2x + {{\left( {2m - 3} \right)}^2}} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
{x^2} + 2x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
Do đó,
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
Δ' > 0\\
{\left( { - 1} \right)^2} + 2.\left( { - 1} \right) + {\left( {2m - 3} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{1^2} - {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\\
- 1 + {\left( {2m - 3} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 1 - {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} < 1\\
\Leftrightarrow - 1 < 2m - 3 < 1\\
\Leftrightarrow 2 < 2m < 4\\
\Leftrightarrow 1 < m < 2
\end{array}\)
