a) Ta có tam giác AMB nội tiếp đường tròn đường kính AB
=> Tam giác AMB là tam giác vuông tại M.
Hay AM vuông góc với BC.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AM ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}}\\ \Leftrightarrow AM = 4,8\,\,cm.\end{array}\)
b) Xét tam giác ABC ta có:
O là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
=> ON là đường trung bình của tam giác ABC.
=> ON // BC
Mà BC vuông góc với AM (cm a))
=> ON vuông góc với AM (từ song song đến vuông góc).
c) Ta có: Tam giác OMA là tam giác cân tại O (do OM = OA)
Lại có: ON vuông góc với AM tại H (cmt)
=> ON là phân giác của góc AOM (tính chất tam giác cân)
=> Góc AON = góc NOM.
Xét tam giác ANO và tam giác MNO ta có:
AO = OM (= R)
Góc AON = góc MON (cmt)
ON chung
=> Tam giác ANO = tam giác MNO (c-g-c).
=> góc OMN = góc NAO = 90 độ
Hay OM vuông góc với MN
=> MN là tiếp tuyến của (O).
