Đáp án:
$\max(AP.BQ)= R^2$
Giải thích các bước giải:
Xét tứ giác $ABQP$ có:
$AP\perp PQ$
$BQ\perp PQ$
$\Rightarrow ABQP$ là hình thang vuông tại $P$ và $Q$
Lại có: $OM\perp PQ;\ OA = OB = R$
$\Rightarrow OM =\dfrac{AP+BQ}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\quad AP.BQ \leqslant \left(\dfrac{AP+BQ}{2}\right)^2 = OM^2 = R^2$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AP = BQ$
$\Leftrightarrow ABQP$ là hình chữ nhật
$\Leftrightarrow AP\perp AB;\ BQ\perp AB;\ OM\perp AB$
$\Rightarrow M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn