Giải thích các bước giải:
a.Ta có $I\in$ trung trực của $AB\to IA=IB$
$I\in$ trung trực của $AC\to IA=IC$
$\to IB=IC$
$\to\Delta IBC$ cân tại $I$
b.Xét $\Delta IAB,\Delta IAC$ có:
Chung $AI$
$IB=IC$
$AB=AC$ vì $\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to\Delta IAB=\Delta IAC(c.c.c)$
$\to \widehat{BAI}=\widehat{CAI}$
$\to AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$
c.Ta có $I\in$ trung trực của $AB$
$D$ là trung điểm $AB$
$\to ID\perp AB=D$
Tương tự $IE\perp AC=E$
Ta có $AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$\to \widehat{BAI}=\widehat{IAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=60^o$
$\to \widehat{DAI}=\widehat{EAI}=60^o$
Mà $ID\perp AB, IE\perp AC$
$\to \Delta IAD,\Delta IAE$ vuông tại $D,E$
$\to\widehat{DIA}=90^o-\widehat{DAI}=30^o$
$\widehat{AIE}=90^o-\widehat{IAE}=30^o$
$\to\widehat{DIE}=\widehat{DIA}+\widehat{AIE}=60^o$
Lại có $AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$ID\perp AB, IE\perp AC$
$\to ID=IE$
$\to\Delta IDE$ cân tại $I$
Mà $\widehat{DIE}=60^o$
$\to\Delta IDE$ đều
d.Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A, AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$
$AI\cap BC=M$
$\to M$ là trung điểm $BC$ và $AI\perp BC\to AM\perp BC$
Trên tia đối của tia $DM$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=DM$
Xét $\Delta DAF,\Delta DBM$ có:
$DA=DB$
$\widehat{FDA}=\widehat{BDM}$
$DF=DM$
$\to\Delta DAF=\Delta DBM(c.g.c)$
$\to AF=BM,\widehat{FAD}=\widehat{DBM}$
$\to AF//BM$
Lại có $AM\perp BC\to AM\perp BM\to AM\perp AF$
Xét $\Delta AFM,\Delta MBA$ có:
Chung $AM$
$\widehat{FAM}=\widehat{BMA}(=90^o)$
$AF=BM$
$\to\Delta AFM=\Delta MBA(c.g.c)$
$\to MF=AB$
$\to 2DM=2DA$
$\to DM=DA$
Tương tự chứng minh được $EM=EA$
Xét $\Delta ADE,\Delta MDE$ có:
$DA=DM$
Chung $DE$
$EA=EM$
$\to\Delta ADE=\Delta MDE(c.c.c)$
$\to \widehat{DME}=\widehat{DAE}=120^o$
