Giải thích các bước giải:
Ta có:
$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$
$\to\begin{cases} f(-\dfrac12)=-\dfrac18+\dfrac14a-\dfrac12b+c\\ f(1)= 1+a+b+c\end{cases}$
Mà $5a-b+11c+2=0\to b=5a+11c+2$
$\to\begin{cases} f(-\dfrac12)=-\dfrac18+\dfrac14a-\dfrac12(5a+11c+2)+c\\ f(1)= 1+a+5a+11c+2+c\end{cases}$
$\to\begin{cases} 8f(-\dfrac12)=-36c-18a-9\\ f(1)=6a+12c+3\end{cases}$
$\to8 f(-\dfrac12)\cdot f(1)=(-36c-18a-9)\cdot (6a+12c+3)$
$\to8 f(-\dfrac12)\cdot f(1)=-9(2a+4c+1)\cdot 3(2a+4c+1)$
$\to8 f(-\dfrac12)\cdot f(1)=-18(2a+4c+1)^2\le 0$
$\to f(-\dfrac12)\cdot f(1)\le 0$
$\to$Phương trình luôn có ít nhất $1$ nghiệm trên đoạn $[-\dfrac12,1]$