Giải thích các bước giải:
Câu 4:
a. Vì M,N là trung điểm AB,BC
-> MN là đường trung bình
->MN // AC , MN=$\frac{1}{2}$ AC (1)
Vì P,Q là trung điểm AD,DC
-> PQ là đường trung bình
->PQ // AC , PQ=$\frac{1}{2}$ AC (2)
Từ (1),(2)
-> MN//PQ,MN=PQ
-> MNPQ là hình bình hành
Vì M,Q là trung điểm AB,AD
-> MQ là đường trung bình
->MQ // BD, MQ=$\frac{1}{2}$ BD
Vì MN//AC mà AC⊥BD -> MN⊥BD
-> MQ⊥MN
mà MNPQ là hình bình hành
-> MNPQ là hình chữ nhật
b. Giả sử MNPQ là hình vuông
-> MQ=MN
mà MQ=$\frac{1}{2}$ BD, MN=$\frac{1}{2}$ AC
-> BD=AC
Vậy để MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD có 2 đường chéo BD,AC bằng nhau và vuông góc
Câu 5:
a. Vì tam giác ABC vuông ở A có đường trung tuyến AM
-> AM=$\frac{BC}{2}$ =$\frac{15}{2}$=7,5cm
Tam giác ABC vuông ở A -> AC²=BC²-AB²=15²-9²=144 -> AC=12cm
\({S_{AMB}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.9.12 = 27c{m^2}\)
b. Vì góc DAE=90
MD//AC mà AC⊥AB -> MD⊥AB -> góc MDA=90
ME//AB mà AC⊥AB -> ME⊥AC -> góc MEA=90
-> góc DAE=góc MDA=góc MEA=90
-> ADME là hình chữ nhật
c. Kẻ AH ⊥ BC tại H
Vì ADME là hình chữ nhật -> AM=DE
Xét tam giác AHM vuông ở H
-> AM≥AH
Vậy để DE nhỏ nhất <-> AM nhỏ nhất <-> AM=AH
-> M≡H
Vậy để DE có độ dài nhỏ nhất thì M là chân đường cao hạ từ A xuống BC