a) Xét $∆ABM$ và $∆DAN$ có:
$\widehat{A}=\widehat{D}=90^\circ$
$AB = AD\quad (ABCD$ là hình vuông$)$
$AM = DN=\dfrac12AD =\dfrac12DC$
Do đó $∆ABM=∆DAN\, (c.g.c)$
$\to \widehat{ABM}=\widehat{DAN}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{DAN} +\widehat{BAN}=\widehat{A}=90^\circ$
nên $\widehat{ABM}+\widehat{BAN}=90^\circ$
$\to BM\perp AN$
b) Ta có: $AB//DC\quad (ABCD$ là hình vuông$)$
$\to AB//NE$
Đặt $DE = EN = x$
$\to \begin{cases}NC = 2x\\EC = 3x\\CD = BC = AB = 4x\end{cases}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$BE^2 = BC^2 + CE^2 = 16x^2 + 9x^2 = 25x^2$
$\to BE = 5x$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{BJ}{JE}=\dfrac{AB}{EN}=\dfrac{4x}{x}= 4$
$\to BJ = \dfrac45BE = \dfrac45\cdot5x = 4x$
$\to BJ = AB = 4x$
$\to ∆ABJ$ cân tại $B$
Lại có: $BM\perp AJ$ (câu a)
$\to BM$ là trung trực của $AJ$
$\to AM = MJ$
Xét $∆ABM$ và $∆JBM$ có:
$AB = BJ\quad (cmt)$
$AM = MJ\quad (cmt)$
$BM:$ cạnh chung
Do đó $∆ABM =∆JBM\, (c.c.c)$
$\to \widehat{BJM}=\widehat{BAM}=90^\circ$
$\to MJ\perp BJ$
hay $MJ\perp BE$
