`a)` $AH\perp BC$ tại $H$
`=>\hat{AHB}=90°`
$\quad BE\perp A A'$ tại $E$
`=>\hat{AEB}=90°`
`=>\hat{AHB}=\hat{AEB}=90°`
`=>BHEA` nội tiếp (vì có $2$ đỉnh kề nhau $H;E$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)
`=>\hat{A'EH}=\hat{ABH}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{ABH}=\hat{A A'C}` (cùng chắn cung $AC$ của $(O))$
`=>\hat{A'EH}=\hat{A A'C}`
Mà `\hat{A'EH};\hat{A A'C}` ở vị trí so le trong
`=>HE`//$A'C$ $\ (1)$
$\\$
Ta lại có:
`\qquad \hat{AC A'}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>A'C`$\perp AC$ $\ (2)$
Từ `(1);(2)=>HE`$\perp AC$
$\\$
`b)` Ta có:
`\qquad \hat{AHC}=\hat{A FC}=90°`
`=>AHFC` nội tiếp (vì hai đỉnh $H;F$ cùng nhìn cạnh $AC$ dưới góc vuông)
`=>\hat{A FH}=\hat{ACH}` (cùng chắn cung $AH$)
`=>\hat{EFH}=\hat{BCA}` $(3)$
Ta lại có:
`\qquad \hat{A'EH}=\hat{ABH}` (câu b)
`=>\hat{FEH}=\hat{CBA}` $(4)$
Từ `(3);(4)=>∆E FH∽∆BCA` (g-g)
`=>{HE}/{AB}={HF}/{AC}`
`=>HE.AC=HF.AB`
$\\$
`c)` Gọi $M$ là trung điểm $BC$
`=>OM`$\perp BC$ tại $M$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
$\\$
`\qquad OB=OC=R`
`=>∆OBC` cân tại $O$
`=>\hat{OBC}=\hat{OCB}`
Ta có:
`\qquad \hat{OMB}+\hat{OEB}=90°+90°=180°`
Vì `\hat{OMB};\hat{OEB}` ở vị trí đối nhau
`=>OMBE` nội tiếp
`=>\hat{OEM}=\hat{OBM}=\hat{OBC}` (cùng chắn cung $OM)$
`=>\hat{OEM}=\hat{OCB}=\hat{OCM}` $(5)$
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{OMC}=\hat{OFC}=90°`
`=>OMFC` nội tiếp (vì hai đỉnh $M;F$ cùng nhìn cạnh $OC$ dưới góc vuông)
`=>\hat{OCM}=\hat{OFM}` (cùng chắn cung $OM$) $(6)$
Từ `(5);(6)=>\hat{OEM}=\hat{OFM}`
`=>\hat{FEM}=\hat{E FM}`
`=>∆ME F` cân tại $M$
`=>ME=MF` (*)
$\\$
$\quad ∆OBC$ cân tại $O$ có $OM$ là đường cao và đường phân giác
`=>\hat{BOM}=1/ 2 \hat{BOC}`
Mà `\hat{BAC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}=1/ 2 \hat{BOC}` (số đo góc nội tiếp bằng `1/ 2` số đo góc ở tâm chắn cùng $1$ cung)
`=>\hat{BOM}=\hat{BAC}`
$\\$
`\qquad ∆OBM` vuông tại $M$
`=>\hat{OBM}=90°-\hat{BOM}=90°-\hat{BAC}`
`=>\hat{OEM}=\hat{OBM}=90°-\hat{BAC}`
$\\$
Ta có: `\hat{ABH}=\hat{A A'C}` (cùng chắn cung $AC$)
Mà `\hat{ABH}+\hat{BAH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`\qquad \hat{A A'C}+\hat{A' AC}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{BAH}=\hat{A' AC}`
`=>\hat{BEH}=\hat{BAH}=\hat{A' AC}` (do $BHEA$ nội tiếp)
$\\$
`\qquad \hat{HEM}=90°-\hat{BEH}-\hat{OEM}`
`=90°-\hat{A'AC}-(90°-\hat{BAC})`
`=\hat{BAC}-hat{A' AC}=\hat{BAE}`
Mà `\hat{MHE}=\hat{BAE}` (do $BHEA$ nội tiếp)
`=>\hat{HEM}=\hat{MHE}`
`=>∆MEH` cân tại $M$
`=>ME=MH` (**)
$\\$
Từ (*);(**)`=>ME=MF=MH`
`=>M` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆HE F$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $B;C$ cố định
`=>` Khi A di động, tâm của đường tròn ngoại tiếp $∆HEF$ là trung điểm của $BC$ cố định
