Gọi \(N,V,M,K\) là trung điểm của \(AB,AD,CD,BC\)
Xét 1 đường thẳng \(m\) đi qua hình vuông \(ABCD\) cắt \(AB,CD\) tại \(H,L\)
(Sao cho đường thẳng này không trùng các đỉnh hình vuông và các trung điểm \(N,M\) và cắt ở phía trong các cạnh)
Gọi \(O\) là giao của \(m\) và \(VK\)
Dễ thấy:
\(VO=\dfrac{AH+DL}{2}\\OK=\dfrac{BH+CL}{2}\\S_{AHLD}=\dfrac{AH+DL}{2}.AD=VO.AD\\S_{BHLC}=\dfrac{BH+CL}{2}.BC=OK.AD\\\dfrac{S_{AHLD}}{S_{BHLC}}=\dfrac{2}{3}\\\to \dfrac{VO}{OK}=\dfrac{2}{3}\)
\(\to O\) cố định, \(m\) khi đó đi qua \(O\) cố định
Tương tự trên \(MN,VK\) ta lấy các điểm \(O_1,O_2,O_3\) thỏa mãn.
\(\dfrac{MO_1}{NO_1}=\dfrac{KO_2}{VO_2}=\dfrac{NO_3}{MO_3}=\dfrac{2}{3}\)
\(\to O_1,O_2,O_3\) cố định
Như vậy nếu 13 đường thẳng cùng tính chất như \(m\) đi qua 1 trong 4 điểm \(O,O_1,O_2,O_3\) cố định thì theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại ít nhất \(\left[\dfrac{13}{4}\right] +1=4\) đường thẳng cùng đi qua 1 điểm (đpcm).
