Đáp án:
$k \in \left\{ {1;7} \right\}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình ${x^2} - kx + 2\left( {k - 1} \right) = 0$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta > 0\\
\Leftrightarrow {\left( { - k} \right)^2} - 4.1.2\left( {k - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {k^2} - 8k + 8 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k > 4 + 2\sqrt 2 \\
k < 4 - 2\sqrt 2
\end{array} \right.\left( * \right)
\end{array}$
Theo ĐL Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = k\\
{x_1}{x_2} = 2\left( {k - 1} \right)
\end{array} \right.$
Để ${x_1} = {x_2} + 1 \Rightarrow {x_2} = \dfrac{{k - 1}}{2};{x_1} = \dfrac{{k + 1}}{2}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = 2\left( {k - 1} \right)\\
\Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{2}.\dfrac{{k - 1}}{2} = 2\left( {k - 1} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k - 1 = 0\\
k + 1 = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 1\\
k = 7
\end{array} \right.\left( {tm\left( * \right)} \right)
\end{array}$
Vậy $k \in \left\{ {1;7} \right\}$ thỏa mãn đề.
