Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta CM : \(\dfrac{1}{xy}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\) \(\Leftrightarrow\) (x+y)2 \(\geq\) 4xy \(\Leftrightarrow\) `x^2+2xy+y^2`\(\geq\) `4xy`
\(\Leftrightarrow\) `x^2+2xy+y^2-4xy` \(\geq \) 0 \(\Leftrightarrow\) `x^2-2xy+y^2` \(\geq\) 0 \(\Leftrightarrow\) `(x-y)^2` \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' khi và chỉ khi `x=y`
Ta có: (1+\(\dfrac{1}{a}\))(1+\(\dfrac{1}{b}\)) = 1+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{ab}\) = `1+` \(\dfrac{a+b}{ab}\)+\(\dfrac{1}{ab}\)=1+\(\dfrac{1}{ab}\)+\(\dfrac{1}{ab}\)
`= 1+ 2.`\(\dfrac{1}{ab}\)
Áp dụng BĐT vừa chứng minh trên ta được:
`1+2.`\(\dfrac{1}{ab}\)\(\geq\) `1+2.`\(\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\)`=1+2.4=1+8=9`
Từ đó suy ra `(1+frac{1}{a}\)(1+frac{1}{b}\) geq\9`
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `a=b=0,5`
