$2n+1$ $=$ $a^2$ $(1)$
$3n+1$ $=$ $b^2$ $(2)$
Từ $(1)$ ⇒ $a$ lẻ
Đặt $a=2k+1$
⇒ $2n+1$ $=$ $4k^2$ $+$ $4k+1$
$n$ $=$ $2k^2$ $+$ $2k$
⇒ $n$ chẵn
⇒ $3n+1$ lẻ
Từ (2)
⇒ $b$ lẻ
Đặt $b=2p+1$
$(1)+(2)$ ta có :
$5n+2$ $=$ $4k^2$ $+$ $4k+1$ $+$ $4p^2$ $+$ $4p+1$
⇒ $5n=4k(k+1)+4p(p+1)$
Suy ra $5n$ $\vdots$ $8$
⇒ $n$ $\vdots$ $8$
Ta cần chứng minh $n$ $\vdots$ $5$
Số chính phương có các tận cùng là : $0,1,4,5,6,9$
Lần lượt xét các trường hợp $n=5q+1, 5q+2, 5q+3,5q+4$
Tất cả đều KTM $2n+1, 3n+1$ là số chính phương. Vậy $n$ $\vdots$ $5$
Mà $5$ và $8$ nguyên tố cùng nhau, nên $n$ $\vdots$ $40$
⇒ $ĐPCM$
XIn hay nhất nha !
