Giải thích các bước giải:
a.Ta có $AM, AN$ là tiếp tuyến của $O\to OM\perp AM, ON\perp AN$
$I$ là trung điểm $BC\to OI\perp BC\to OI\perp AI$
$\to O,M,A,N,I\in$ đường tròn đường kính $AO$
b.Ta có: $O,M,A,N,I\in$ đường tròn đường kính $AO$
$\to\widehat{OIM}=\widehat{ONM}=\widehat{OMN}=\widehat{OMK}$
Mà $\widehat{MOI}=\widehat{MOK}$
$\to\Delta OMI\sim\Delta OKM(g.g)$
$\to\dfrac{OM}{OK}=\dfrac{OI}{OM}$
$\to OK=\dfrac{OM^2}{OI}=\dfrac{R^2}{OI}$ không đổi
Mà $A,B,C,O$ cố định $\to OI\perp BC$ cố định
$\to K$ cố định
c.Gọi $G$ là trung điểm $HM$
Mà $D$ là trung điểm $HQ\to GD$ là đường trung bình $\Delta MHQ\to GD//MQ$
Mà $PQ$ là đường kính của $(O)\to MP\perp MQ$
$\to DG\perp MP$
Lại có $MH\perp OA\to M\perp DP\to G$ là trực tâm $\Delta MPD$
$\to PG\perp MD\to ME//HF$
$\to PG//HE$
Mà $G$ là trung điểm $MH$
$\to PG$ là đường trung bình $\Delta MEH\to P$ là trung điểm $ME$