$\text{$\frac{1}{a+b}$ +$\frac{1}{b+c}$ +$\frac{1}{c+a}$ ≥$\frac{a+b+c}{6}$ +$\frac{3}{a+b+c}$ }$
$\text{⇔$\frac{a+b+c}{a+b}$ +$\frac{a+b+c}{b+c}$ +$\frac{a+b+c}{c+a}$≥$\frac{(a+b+c)²}{6}$+3}$
$\text{⇔∑($\frac{c}{a+b}$+1)≥$\frac{(a+b+c)²}{6}$+3}$
$\text{⇔$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$≥$\frac{(a+b+c)²}{6}$}$
$\text{⇔$\frac{a²}{ab+ca}$+$\frac{b²}{cb+ab}$+$\frac{c²}{ca+bc}$≥$\frac{(a+b+c)²}{6}$}$
$\text{Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ,ta có}$
$\text{$\frac{a²}{ab+ca}$+$\frac{b²}{cb+ab}$+$\frac{c²}{ca+bc}$≥}$
$\text{≥$\frac{(a+b+c)²}{2(ab+bc+ca)}$}$
$\text{=$\frac{(a+b+c)²}{6}$ (do ab+bc+ca=3)}$
$\text{⇒dpcm}$
$\text{Dấu "=" a=b=c=1 }$
