Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa điều kiện \(x + y + z = 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}}\)A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{5}{2}\)D.\(\frac{3}{2}\)

quang2403hst

2 năm trước

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa điều kiện \(x + y + z = 3.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}}\)
A.\(1\)
B.\(\frac{1}{2}\)
C.\(\frac{5}{2}\)
D.\(\frac{3}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 45 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

199834784351308

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(a,b\): \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).
Giải chi tiết:Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số \({y^2},1\) ta có \({y^2} + 1 \ge 2\sqrt {{y^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow {y^2} + 1 \ge 2y\)
Ta có: \(\frac{x}{{{y^2} + 1}} = \frac{{x\left( {{y^2} + 1} \right) - x{y^2}}}{{{y^2} + 1}}\) \( = x - \frac{{x{y^2}}}{{{y^2} + 1}} \ge x - \frac{{x{y^2}}}{{2y}} = x - \frac{{xy}}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y}{{{z^2} + 1}} = \frac{{y\left( {{z^2} + 1} \right) - y{z^2}}}{{{z^2} + 1}}\) \( = y - \frac{{y{z^2}}}{{{z^2} + 1}} \ge y - \frac{{y{z^2}}}{{2z}} = y - \frac{{yz}}{2}\)
\(\frac{z}{{{x^2} + 1}} = \frac{{z\left( {{x^2} + 1} \right) - z{x^2}}}{{{x^2} + 1}}\) \( = z - \frac{{z{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge z - \frac{{z{x^2}}}{{2x}} = z - \frac{{zx}}{2}\)
Cộng theo từng vế ta được:
\(\frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}}\) \( \ge x + y + z - \frac{{xy + yz + xz}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác, theo BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \ge 2xy\\{y^2} + {z^2} \ge 2yz\\{x^2} + {z^2} \ge 2xz\end{array} \right.\)
Suy ra \(2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\left( {xy + yz + xz} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + xz} \right) \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\)
\( \Leftrightarrow {3^2} \ge 3\left( {xy + yz + xz} \right)\) \( \Leftrightarrow xy + yz + xz \le 3\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{x}{{{y^2} + 1}} + \frac{y}{{{z^2} + 1}} + \frac{z}{{{x^2} + 1}} \ge 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)
Hay \(P \ge \frac{3}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{3}{2}\) khi \(x = y = z = 1.\)
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Hòa tan hết 33,02 gam hỗn hợp gồm Na, Na2O, Ba và BaO vào nước dư thu được dung dịch X và 4,48 lít khí H2 (đktc). Cho dung dịch CuSO4 dư vào dung dịch X, thu được 73,3 gam kết tủa. Nếu sục 0,45 mol khí CO2 vào dung dịch X, sau khi kết thúc các phản ứng, thu được lượng kết tủa là
A.27,58 gam.
B.31,52 gam.
C.29,55 gam.
D.35,46 gam.

Cho 18,3 gam hỗn hợp X gồm hai hợp chất hữu cơ đơn chức là dẫn xuất của benzen có cùng công thức phân tử C7H6O2 tác dụng hết với dung dịch AgNO3 trong NH3 thu được 10,8 gam Ag. Vậy khi cho 9,15 gam X nói trên tác dụng với 300 ml dung dịch NaOH 1M, rồi cô cạn dung dịch sau phản ứng sẽ thu được bao nhiêu gam chất rắn khan ?
A.20,2 gam.
B.19,8 gam.
C.16,4 gam.
D.20,8 gam.

Một cửa hàng bán xăng dầu dự định đặt làm một chiếc bồn chứa dầu bằng sắt hình trụ có chiều cao 1,8 m, bán kính đáy 0,6 m. Hỏi chiếc bồn đó chứa đầy được bao nhiêu lít dầu? (Bỏ qua bề dầy của bồn)
A.\(2036l\)
B.\(2568l\)
C.\(2035l\)
D.\(2567l\)

Qua đoạn trích, tác giả thể hiện quan niệm như thế nào về cuộc đời?
A.
B.
C.
D.

Hai điện tích \({q_1}\; = {2.10^{ - 8}}C;{q_2}\; = - {8.10^{ - 8}}C\)đặt tại A và B trong không khí; AB = 8cm. Một điện tích q3 đặt tại C. C ở đâu để q3 cân bằng.
A.C nằm ngoài AB và gần phía A; CA = 8cm
B.C nằm ngoài AB và gần phía B; CB = 8cm
C.C là trung điểm của AB
D.C nằm ngoài AB và gần phía A ; CA = 16cm

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {2y - 5} = 12\\2x - \sqrt {2y - 5} = 3\end{array} \right.\)
A.\(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\)
B.\(\left( {x;y} \right) = \left( {3;7} \right)\)
C.\(\left( {x;y} \right) = \left( {6;15} \right)\)
D.\(\left( {x;y} \right) = \left( {5;27} \right)\)

Cho các phát biểu sau:
(a) Chất béo được ứng dụng trong sản xuất mì sợi, đồ hộp.
(b) Các amino axit ở điều kiện thường là những chất rắn ở dạng tinh thể.
(c) Glucozơ và saccarozơ đều tác dụng với H2 (xúc tác Ni, đun nóng) tạo sobitol.
(d) Các polime: thủy tinh hữu cơ plexiglas; polietilen; poli(vinyl clorua) được dùng làm chất dẻo.
Số phát biểu đúng là
A.2.
B.4.
C.3.
D.1.

Thực hiện hai thí nghiệm sau:
- Thí nghiệm 1: Cho m1 gam glucozơ phản ứng hoàn toàn với lượng dư dung dịch AgNO3 trong NH3, đun nóng, thu được a gam Ag.
- Thí nghiệm 2: Thủy phân m2 gam saccarozơ trong dung dịch H2SO4 loãng, đun nóng (hiệu suất phản ứng thủy phân là 75%) một thời gian thu được dung dịch X. Trung hòa dung dịch X bằng dung dịch NaOH vừa đủ, thu được dung dịch Y. Cho toàn bộ Y tác dụng với lượng dư dung dịch AgNO3 trong NH3, đun nóng. Sau khi phản ứng xảy ra hoàn toàn thu được a gam Ag.
Biểu thức liên hệ giữa m1 và m2 là.
A.19m1 = 15m2.
B.38m1 = 20m2.
C.19m1 = 20m2.
D.38m1 = 15m2.

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{2^2}}}{{1.3}}.\frac{{{3^2}}}{{2.4}}.\frac{{{4^2}}}{{3.5}}....\frac{{{{99}^2}}}{{98.100}}\)
A.\(A = 1\)
B.\(A = 2\)
C.\(A = \frac{{49}}{{50}}\)
D.\(A = \frac{{99}}{{50}}\)

Hòa tan hoàn toàn hai chất rắn X, Y (có số mol bằng nhau) vào nước thu được dung dịch Z. Tiến hành các thí nghiệm sau:
- Thí nghiệm 1: Cho dung dịch NaOH dư vào V lít Z, đun nóng thu được n1 mol khí.
- Thí nghiệm 2: Cho dung dịch H2SO4 dư vào V lít Z, thu được n2 mol khí không màu, hóa nâu ngoài không khí, là sản phẩm khử duy nhất.
Thí nghiệm 3: Cho dung dịch Ba(OH)2 dư vào V lít Z, thu được n1 mol kết tủa.
Biết các phản ứng xảy ra hoàn toàn và n1 = 6n2. Hai chất X, Y lần lượt là
A.(NH4)2SO4 và Fe(NO3)2.
B.NH4NO3 và FeCl3.
C.NH4Cl và AlCl3.
D.NH4NO3 và FeSO4.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến