Đáp án:
`min_{1/(a^2+b^2)+1/(2ab)}=4<=>a=b=1/2.`
Giải thích các bước giải:
Cần chứng minh bất đẳng thức:
`1/x+1/y>=4/(x+y)(x,y>0)`
`<=>(x+y)/(xy)>=4/(x+y)`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>x^2+2xy+y^2>=4xy`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>(x-y)^2>=0` luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi `x=y>0`.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
`1/(a^2+b^2)+1/(2ab)>=4/(a^2+2ab+b^2)=4/(a+b)^2=4`
Dấu "=" xảy ra khi `a^2+b^2=2ab<=>a^2-2ab+b^2=0`
`<=>(a-b)^2=0<=>a=b=1/2`
Vậy `min_{1/(a^2+b^2)+1/(2ab)}=4<=>a=b=1/2.`
