Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 3 số ta được:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2{a^2} + \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{a} \ge 3\sqrt[3]{{2{a^2}.\dfrac{2}{a}.\dfrac{2}{a}}} = 3\sqrt[3]{8} = 6\\ {b^2} + \dfrac{{27}}{b} + \dfrac{{27}}{b} \ge 3\sqrt[3]{{{b^2}.\dfrac{{27}}{b}.\dfrac{{27}}{b}}} = 3\sqrt[3]{{729}} = 27 \end{array} \right.\\ \Rightarrow S \ge 6 + 27 = 33 \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ :
$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{a} = 2{a^2}\\ {b^2} = \dfrac{{27}}{b} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 3 \end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 1 + 2.3 = 7$
