Đáp án: $ x\in\{0,-1,1\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$A=\dfrac{x-1}{x^2+1}$
$\to A(x^2+1)=x-1$
$\to Ax^2+A=x-1$
$\to Ax^2-x+A+1=0(*)$
Nếu $A=0\to \dfrac{x-1}{x^2+1}=0\to x-1=0\to x=1$
Nếu $A\ne 0$
$\to (*)$ là phương trình bậc $2$
Do $A=\dfrac{x-1}{x^2+1}\to$Với mỗi giá trị $x$ có $1$ giá trị của $A$
$\to (*)$ có nghiệm
$\to \Delta\ge 0$
$\to (-1)^2-4A(A+1)\ge 0$
$\to 4A(A+1)\le 1$
$\to 4A^2+4A+1\le 2$
$\to (2A+1)^2\le 2$
Vì $A\in Z\to (2A+1)^2$ là số chính phương lẻ
$\to (2A+1)^2=1$
$\to 2A+1=1\to A=0$(loại )
Hoặc $2A+1=-1\to A=-1$
$\to \dfrac{x-1}{x^2+1}=-1$
$\to -x^2-1=x-1$
$\to x^2+x=0$
$\to x(x+1)=0$
$\to x\in\{0,-1\}$
Kết hợp cả $2$ trường hợp $\to x\in\{0,-1,1\}$
