Với n là số lẻ thì $n^5-n ⋮ 240$
Vì n là số lẻ thì chúng ta phải chứng minh $A= (2k+1)^5-(2k+1) ⋮ 240$
Ta có: $(2k+1)^5 - (2k+1)=8k(k+1)(2k+1)(2k^2+2k+1)$
Vì $k(k+1) ⋮ 2$
$8k(k+1)(2k1)(2k^2+2k+1) ⋮ 16$
Với $k=3x$ thì $A ⋮ 3$
Với $k=3x+1$ thì $2k+1=2(3x+1)+1=6x+3 ⋮ 3$
Với $k=3x+2$ thì $k+1=3x+2+1=3x+3 ⋮ 3$
$⇒ A ⋮ 3$
Ta chứng minh $A ⋮ 5$
Vậy $A ⋮ (16.3.5=240)$
Quay lại ta có:
$a^5+b^5+c^5+d^5-a-b-c-d$
$⇔ (a^5-a) + (b^5-b) + (c^5-c) + (d^5-d) ⋮ 240$