Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $a, b > 0$
Từ hệ thức $:\sqrt{ab}(a - b) = a + b > 0 ⇒ a > b > 0$
Và $ \sqrt{ab} = \dfrac{a + b}{a - b} = 1 + \dfrac{2b}{a - b} > 1$
$ ⇔ ab > 1 ⇔ ab - 1 > 0$
Ta có $: \sqrt{ab}(a - b) = a + b ⇔ ab(a - b)² = (a + b)²$
$ ⇔ ab[(a + b)² - 4ab] = (a + b)²$
$ ⇔ ab.P² - 4a²b² = P² ⇔ (ab - 1)P² = 4a²b²$
$ ⇔ P² = \dfrac{4a²b²}{ab - 1} = \dfrac{4(a²b²- 1) + 4}{ab - 1}$
$ = 4(ab + 1 + \dfrac{1}{ab - 1}) = 4(ab - 1 + \dfrac{1}{ab - 1} + 2)$
$ ≥ 4(2\sqrt{(ab - 1).\dfrac{1}{ab - 1}} + 2) = 4(2 + 2) = 16$
$ ⇔ P = a + b ≥ 4$
Vậy $GTNN$ của $P = a + b = 4 ⇔ ab - 1 = \dfrac{1}{ab - 1}$
$ ⇔ a + b = 4; ab = 2 ⇔ a = 2 + \sqrt{2}; b = 2 - \sqrt{2}$
$ T = \dfrac{x}{(x + 2020)²} = \dfrac{(x + 2020) - 2020}{(x + 2020)²} $
$ = \dfrac{1}{x + 2020} - \dfrac{2020}{(x + 2020)²} $
$ = 2.\dfrac{1}{2\sqrt{2020}}.\dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} - \dfrac{2020}{(x + 2020)²} $
$ = \dfrac{1}{4.2020} - [(\dfrac{1}{2\sqrt{2020}})² - 2.\dfrac{1}{\sqrt{2020}}.\dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} - (\dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020})² $
$ = \dfrac{1}{2020} - (\dfrac{1}{2\sqrt{2020}} - \dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020})² $
$ ≥ \dfrac{1}{2020}$
Vậy $GTNN$ của $T = \dfrac{1}{2020} ⇔ \dfrac{1}{2\sqrt{2020}} - \dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} = 0$
$ ⇔ \dfrac{1}{2\sqrt{2020}} = \dfrac{\sqrt{2020}}{x + 2020} ⇔ x = 2020$
